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viernes, 8 de mayo de 2009

Infinitos infinitos

El concepto de infinito aparece en numerosas ramas de la matemática: geometría, análisis, teoría de números, teoría de conjuntos, etc. Pero, ¿cuántos tipos de infinitos existen?


A primera vista podría parecer que todos los infinitos son de la misma naturaleza, no obstante el matemático alemán George Cantor demostró que existían distintos niveles de infinitud, o que ¡¡hay infinitos más infinitos que otros!!

Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real.

Para ello creó el concepto de número transfinito. Y para ilustrarlo, lo mejor es emplear la paradoja del hotel infinito inventada por el matemático alemán David Hilbert:

Imaginemos un hotel infinito, con sus infinitos huéspedes alojados en él... Imaginemos ahora un nuevo turista que llega a la recepción del hotel pidiendo habitación, si el infinito hotel tiene infinitos turistas, ¿qué hace el recepcionista del hotel para alojarlo? Pues muy sencillo, pide al huésped alojado en la primera habitación que se mueva a la habitación número 2, al de la segunda habitación que se mueva a la número 3, ... en definitiva, que el huésped alojado en la habitación n tenga la amabilidad de ocupar la habitación n+1... De este modo, nuestro querido turista pudo alojarse cómodamente en la habitación número 1 de este hotel infinito. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación.

Esta paradoja del hotel infinito continúa planteando la llegada de infinitos turistas, y de infinitas excursiones con infinitos turistas... es curioso ver cómo el recepcionista del hotel da solución a los sucesivos problemas sin apenas pestañear (más información en el artículo de wikipedia).


A pesar de todo, esto le costó a Cantor numerosos problemas con sus colegas y contemporáneos, hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.


Nota sabionda: Estos distintos grados de infinitud se expresan mediante los conceptos de Alef-0, Alef-1, Alef-2... que de forma tan brillante plasmó nuestro querido José Luis Borges en alguno de sus cuentos (en la imagen una representación del Aleph, primera letra del alfabeto hebreo o alefato).



(Este post está dedicado a mi querido profesor de matemáticas de BUP "Don Ázar" que tan brillante aparición ha hecho en facebook esta semana, va por ti Ázar.)

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2 Cosas que alguien ha dicho:

  • eres un pelota!! xDD

    Interesante articulo macho, luego en casa mirare los enlaces a la wikipedia a ver si me entero de algo, :))

    By Blogger NeoInet, at 08 mayo, 2009  

  • Apasionante tema.
    tengo una pregunta:
    es infinito o el infinito¿?
    es decir, tiene genero¿? y porque¿?
    yo lo entiendo como algo con geneo neutro tipo "lo profundo" porque si algo es el infinito deja de tener esa identidad de cosa, en cambio si algo es infinito esa cosa es infinitamente esa cosa¿?
    no se si me explico.
    este tema me apasiona la verdad y he empezado a investiga sobre ello igual que tu gracias a mi profe de mates.
    un saludo

    By Anonymous se_Sale, at 05 abril, 2011  

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